Es gibt folgende Wege in die Stadt:

1. Arlanda Express (Normalpreis ca. 200 kr pro Fahrt), Fahrtzeit 20 Minuten
2. Flygbuss (Normalpreis ca. 100kr pro Fahrt), Fahrtzeit ca. 45 Minuten
3. airportshuttle.se (ab 150 kr pro Fahrt), Fahrtzeit ca. 45 Minuten
4. Verschiedene Taxi-Unternehmen (400 kr pro Taxifahrt, dafür aber eben überall hin in der Stadt), Fahrtzeit auch ca. 45 Minuten
5. Upptåget: Mit dem Upptåget nach Upplands-Väsby, dann weiter mit dem Pendeltåg nach Stockholm (Nahverkehrsticket + 40 kr Zuschlag), Fahrtzeit ca. 40 Minuten
6. Nahverkehr: Mit Bus 583 oder 583X nach Märsta, dann Pendeltåg nach Stockholm (Nahverkehrsticket - Preis je nach Kartentyp, maximal 80 kr für eine Fahrt), Fahrtzeit ca. 75 Minuten.

Mein Favorit ist letzteres, denn wenn Du im Terminal 5 beim Pressbyrå eine Zeitkarte für 7 Tage (Preis 260 kr) kaufst, dann hast Du nicht nur eine Karte für Bus und Bahn in ganz Groß-Stockholm, sondern kannst die genannte Verbindung von und zum Flughafen ohne Zusatzkosten nutzen. Das ist schon praktisch. Der Nachteil ist, dass es am längsten dauert.
Den Arlanda Express würde ich jedenfalls nur nehmen, wenn man es sehr eilig hat. Bei Onlinebuchung kann man da auch ein bisschen was sparen.
Der Flygbuss kostet aber auf alle Fälle weniger und fährt dieselbe Strecke, nur eben ein bisschen langsamer.